O recém-descoberto ladrilho ‘einstein’ é uma forma de 13 lados que resolve um problema matemático de décadas

Os matemáticos inventaram uma nova forma de 13 lados que pode ser ladrilhada infinitamente sem nunca repetir um padrão. Eles o chamam de “o einstein”.

Durante décadas, os matemáticos se perguntaram se seria possível encontrar uma única forma especial que pudesse ladrilhar perfeitamente uma superfície, sem deixar lacunas ou causar sobreposições, sem que o padrão se repetisse. Claro, isso é trivial de se fazer com um padrão que se repete – basta olhar para o piso de um banheiro ou cozinha, que provavelmente é feito de ladrilhos retangulares simples. Se você pegar o chão e movê-lo (chamado de “translação” em matemática), poderá encontrar uma posição em que o chão pareça exatamente o mesmo de antes, provando que é um padrão repetitivo.

Em 1961, o matemático Hao Wang conjecturou que ladrilhos aperiódicos, ou ladrilhos que nunca se tornam um padrão repetitivo, eram impossíveis. Mas seu próprio aluno, Robert Berger, o enganou, encontrando um conjunto de 20.426 formas que, quando organizadas com cuidado, nunca se repetiam. Ele então reduziu para um conjunto de 104 peças. Isso significa que, se você comprasse um conjunto desses ladrilhos, poderia organizá-los no chão da cozinha e nunca encontrar um padrão repetido.

Desde então, matemáticos de todo o mundo têm procurado o Santo Graal da ladrilhagem aperiódica, chamado “o einstein”. A palavra não vem do famoso Albert Einstein, mas da tradução alemã de seu sobrenome: uma pedra. Poderia um único ladrilho – uma “pedra” – preencher um espaço bidimensional sem nunca repetir o padrão que cria?

A resposta acabou de ser descoberta por David Smith, um técnico de impressão aposentado de East Yorkshire, Inglaterra. Como ele encontrou essa solução notável? “Estou sempre brincando e experimentando formas”, disse Smith ao The New York Times. “É sempre bom colocar a mão na massa. Pode ser bastante meditativo.”

Embora os matemáticos soubessem da forma, que tem 13 lados, eles nunca a consideraram uma candidata à ladrilhos aperiódicos.

Smith trabalhou em estreita colaboração com dois cientistas da computação e outro matemático para desenvolver duas provas mostrando que “o einstein” é um monotil aperiódico. Uma prova baseou-se na construção de conjuntos hierárquicos cada vez maiores de ladrilhos, mostrando como o padrão nunca se repete à medida que a área da superfície cresce. A outra prova baseou-se na descoberta da equipe de que não havia apenas um desses ladrilhos, mas um conjunto infinito de formas relacionadas que poderiam resolver o problema. O artigo da equipe está disponível no servidor de pré-impressão arXiv, (abre em nova aba)mas ainda não foi revisado por pares, e as provas ainda não foram examinadas.

Esses tipos de ladrilhos aperiódicos são mais do que curiosidades matemáticas. Por um lado, eles servem de trampolim para obras de arte, como o ladrilho Penrose encontrado no Salesforce Transit Center, em São Francisco, e revelam que alguns mosaicos islâmicos medievais empregavam padrões não repetitivos semelhantes.

Ladrilhos aperiódicos também ajudam físicos e químicos a entender a estrutura e o comportamento dos quasicristais, estruturas nas quais os átomos são ordenados, mas não possuem um padrão de repetição.